Η παρούσα διπλωματική εργασία εστιάζει στη μελέτη και ανάλυση των συστημάτων αναμονής με χρήση εισιτηρίων, τα οποία συναντώνται σε χώρους υψηλής κίνησης, όπως τράπεζες, δημόσιες υπηρεσίες και νοσοκομεία. Σε αντίθεση με τις φυσικές ουρές, όπου το πλήθος των ενεργών πελατών είναι ορατό, στα συστήματα εισιτηρίων φαίνεται μονάχα μία αριθμητική ένδειξη. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα να δημιουργείται η εντύπωση ενός υπερβολικά φορτωμένου συστήματος, οδηγώντας τους πελάτες σε υπερεκτίμηση του χρόνου αναμονής. Κεντρικός στόχος της εργασίας είναι η διερεύνηση αυτής της συμπεριφοράς και η ανάπτυξη κατάλληλων μοντέλων για τον περιορισμό των πρόωρων, άσκοπων αποχωρήσεων και για τη βελτιστοποίηση της ποιότητας εξυπηρέτησης.

Το πρώτο κεφάλαιο της εργασίας θέτει το απαραίτητο θεωρητικό υπόβαθρο, παρουσιάζοντας κρίσιμες έννοιες στοχαστικών διαδικασιών (όπως η Μαρκοβιανή Ιδιότητα, η Στάσιμη Κατανομή και η Οριακή Συμπεριφορά) και αναλύοντας τις διαδικασίες Quasi Birth Death (QBD), ως γενίκευση των διαδικασιών Birth Death (BD), με δομή επιπέδου και φάσης. Παράλληλα, εξετάζονται ο απειροστός γεννήτορας, ο τοπικός χαρακτήρας των μεταβάσεων, η συνθήκη ευστάθειας και ο πίνακας ρυθμού, με τελικό στόχο την ολοκληρωμένη παρουσίαση της Πινακογεωμετρικής Μεθόδου. Το κεφάλαιο κλείνει με τρία αντιπροσωπευτικά παραδείγματα που αποτυπώνουν την εφαρμογή της μεθόδου.

Το δεύτερο κεφάλαιο ολοκληρώνει το θεωρητικό μέρος, καλύπτοντας τη Θεωρία Παιγνίων και τη Στρατηγική Συμπεριφορά στις Ουρές Αναμονής. Σε αυτό το τμήμα αναλύονται θεμελιώδεις έννοιες, όπως η ισορροπία Nash, η συνάρτηση βέλτιστης απόκρισης και οι στρατηγικές κατωφλιού, παρέχοντας τα απαραίτητα μαθηματικά εργαλεία για την κατανόηση της συμπεριφοράς των πελατών στα επόμενα στάδια.

Το τρίτο κεφάλαιο αποτελεί τον πυρήνα του κύριου μέρους της μελέτης, εστιάζοντας στη μοντελοποίηση της ουράς εισιτηρίων με πελάτες που αποχωρούν. Κατά τη διαδικασία αυτή, αναδύεται ένα σοβαρό υπολογιστικό πρόβλημα. Για την αποτελεσματική αντιμετώπισή του, εισάγεται το μοντέλο της τροποποιημένης ουράς, σύμφωνα με το οποίο τα εικονικά εισιτήρια αυτών που αποχώρησαν τοποθετούνται στο τέλος. Με τη νέα αυτή προσέγγιση, η πολυπλοκότητα μειώνεται από εκθετική σε τετραγωνική, ενώ παράλληλα διατηρείται η συμπεριφορά του συστήματος αναλλοίωτη. Η ακρίβεια και η αξιοπιστία αυτής της προσεγγιστικής μεθόδου τεκμηριώνονται από τα αποτελέσματα σχετικής βιβλιογραφίας, τα στοιχεία και τα συμπεράσματα της οποίας μελετήθηκαν σε βάθος και αξιοποιήθηκαν επιλεκτικά στην παρούσα εργασία. Επιπλέον, αναδεικνύεται το κρίσιμο παράδοξο όπου οι πελάτες σε ουρές με εισιτήρια αποχωρούν συχνότερα συγκριτικά με τις φυσικές ουρές. Για την αποφυγή αυτού, προτείνεται το βελτιωμένο μοντέλο Ticket-Plus, το οποίο αναγράφει στο εισιτήριο τον αναμενόμενο χρόνο αναμονής, για τη διόρθωση της υπερβολικής εκτίμησης του πελάτη.

Το τέταρτο και τελευταίο κεφάλαιο εισάγει την έννοια του διπλού κατωφλιού, εξετάζοντας πώς οι πελάτες ερμηνεύουν τα δεδομένα και προσαρμόζουν τις αποφάσεις τους. Μέσω της ανάλυσης της δομής του χώρου και βοηθητικών προτάσεων και λημμάτων, οδηγούμαστε στα κεντρικά θεωρήματα της εργασίας. Σύμφωνα με το πρώτο θεώρημα, όσο μεγαλύτερο είναι το συνολικό μήκος της ουράς, τόσο πιο πιθανό είναι οι προηγούμενοι πελάτες να έχουν εγκαταλείψει, φτάνοντας στο συμπέρασμα ότι αν ο παρατηρούμενος αριθμός πελατών γίνει τεράστιος, με βεβαιότητα παραμένει ενεργός αποκλειστικά ο πελάτης που εξυπηρετείται τη δεδομένη στιγμή, ενώ όλοι οι υπόλοιποι έχουν αποχωρήσει. Στη συνέχεια, το δεύτερο και τελικό θεώρημα αποδεικνύει ότι οι απλές στρατηγικές μονού κατωφλιού δεν μπορούν να σταθούν ως στρατηγικές ισορροπίας Nash. Αντίθετα, η βέλτιστη αντίδραση για τον πελάτη, εάν όλοι οι άλλοι υιοθετήσουν την ίδια στρατηγική μονού κατωφλιού, είναι να ακολουθήσει στρατηγική διπλού κατωφλιού, επιλέγοντας τελικά να εισέλθει και στην επιπλέον περίπτωση που η ένδειξη του εισιτηρίου ξεπερνά μια δεύτερη πιο ανεβασμένη τιμή. 

Η μελέτη ολοκληρώνεται αναφέροντας κατευθύνσεις στις οποίες μπορεί να επεκταθεί ή να γενικευθεί το βασικό μοντέλο. Ζητήματα όπως η επαναξιολόγηση της θέσης του πελάτη σε μεταγενέστερο χρόνο, οι πολλαπλοί εξυπηρετητές, οι γενικοί χρόνοι εξυπηρέτησης ή η καθυστερημένη ενημέρωση για τις αποχωρήσεις αποτελούν ενδεχόμενες προοπτικές για τέτοιες επεκτάσεις των συστημάτων αναμονής με εισιτήρια.

This thesis focuses on the study and analysis of ticket queueing systems, which are commonly found in high-traffic environments such as banks, public services and hospitals. In contrast to physical queues, where the actual queue size is directly visible, ticket systems display only a numerical indicator. This creates the impression of an overly congested system, leading customers to overestimate their waiting time. The main objective of this work is to investigate this behavior and develop appropriate models to prevent unnecessary abandonments and to optimize the quality of services.

The first chapter establishes the necessary theoretical background by presenting crucial concepts of stochastic processes (such as the Markovian property, stationary distribution and limiting behavior) and analyzing Quasi-Birth-Death (QBD) processes as a generalization of Birth-Death (BD) processes, featuring a level and phase structure. Furthermore, it examines the infinitesimal generator matrix, the local character of transitions, the stability condition and the rate matrix, with the ultimate goal of providing a comprehensive presentation of the Matrix-Geometric Method (MGM). The chapter concludes with three representative examples illustrating its application.

The second chapter completes the theoretical part by covering Game Theory and Strategic Behavior in Queues. This section analyzes fundamental concepts such as Nash equilibrium, the best-response function and the threshold strategies, providing the necessary mathematical tools for understanding customer behavior in subsequent stages.

The third chapter forms the core of the thesis, focusing on the modeling of ticket queues with balking customers. During this process, a serious computational problem arises. To address it effectively, a modified queue model is introduced, according to which the tickets of balking customers are placed at the end. With this new approach, the complexity is reduced from exponential to quadratic, while the system’s behavior remains the same. The accuracy and reliability of this approximation method are supported by the literature, whose data and conclusions were carefully selected and used. Additionally, an important paradox is observed where customers in ticket queues balk more frequently compared to physical queues. To prevent this, the improved Ticket-Plus model is proposed, which prints the expected waiting time on the ticket to correct the customer’s overestimation.

The fourth and final chapter introduces the concept of double thresholds, examining how customers interpret data and adjust their decisions. Through the analysis of the state space structure, auxiliary propositions and lemmas, we reach the central theorems of the thesis. According to the first theorem, the larger the total queue length, the more likely it is that preceding customers have abandoned the line, concluding that if the observed number of customers becomes extremely large, with certainty only the customer currently in service remains in the system, while all the others have departed. Then, the second and final theorem proves that simple single-threshold strategies do not constitute a Nash equilibrium. Instead, the best response for a customer, if all the others adopt the same single-threshold strategy, is to follow a double-threshold strategy, choosing to enter even when the ticket indication exceeds a second, higher threshold.

The study concludes by outlining directions in which the basic model can be extended or generalized. Issues such as customer re-evaluation of position at a later time, multiple servers, general service times or delayed notification of departures constitute potential prospects for such extensions of ticket queueing systems.