Στην παρούσα εργασία παρουσιάζονται οι ελλειπτικές καμπύλες και η χρήση τους στην Κρυπτογραφία. Στο πρώτο κεφάλαιο δίνεται ο ορισμός των ελλειπτικών καμπυλών, διατυπώνονται οι βασικές ιδιότητες τους, και αναλύονται ορισμένες εναλλακτικές μορφές ελλειπτικών καμπυλών. Το δεύτερο κεφάλαιο αφιερώνεται στην απόδειξη του Θεωρήματος του Hasse. Στο τρίτο κεφάλαιο εξετάζεται το πρόβλημα του Διακριτού Λογαρίθμου στις ελλειπτικές καμπύλες και αναλύονται κάποιες κρυπτογραφικές εφαρμογές, όπως το κρυπτοσύστημα ElGamal, το πρωτόκολλο ανταλλαγής κλειδιών Diffie - Hellman και η ψηφιακή υπογραφή. Τέλος, στο τέταρτο κεφάλαιο διερευνώνται οι ζεύξεις και η χρήση τους στην κρυπτογραφία. Ειδικότερα, μελετάται το ζευγάρωμα του Weil και η ζεύξη Tate - Lichtenbaum, ενώ αναλύονται βασικά κρυπτογραφικά πρωτόκολλα με τη βοήθεια των pairings.

This thesis explores elliptic curves and their applications in cryptography. The first chapter introduces the definition of elliptic curves, describes their fundamental properties and examines several alternative forms of elliptic curves. The second chapter focuses on the proof of Hasse’s Theorem. The third chapter studies the Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem (ECDLP) and analyzes various cryptographic applications, including the ElGamal cryptosystem, the Diffie-Hellman key exchange protocol and digital signatures. Finally, the fourth chapter provides an overview of pairings and their use in cryptography. In particular, the Weil pairing and the Tate-Lichtenbaum pairing are examined and fundamental pairing-based cryptographic protocols are analyzed.