Στην παρούσα διπλωματική εργασία παρουσιάζεται η άλγεβρα των οκτονίων. Αρχικά γίνεται μια ιστορική ανασκόπηση της επέκτασης του συνόλου των πραγματικών αριθμών στους μιγαδικούς, κατόπιν στους υπερμιγαδικούς και τελικά στα οκτόνια. Στη συνέχεια ορίζονται οι composition άλγεβρες και η μέθοδος διπλασιασμού των Cayley–Dickson. Τα τρία σύνολα που επεκτείνουν τους πραγματικούς αριθμούς κατασκευάζονται με τη μέθοδο του διπλασιασμού και με την απόδειξη του Θεωρήματος Hurwitz αποδεικνύεται ότι η διαδικασία επέκτασης δεν μπορεί να συνεχιστεί πέραν των οκτονίων. Οι βασικές ιδιότητες των οκτονίων αποδεικνύονται στο πλαίσιο των ιδιοτήτων των composition αλγεβρών επί του σώματος των πραγματικών αριθμών. Εξετάζεται η επέκταση της έννοιας του ακέραιου αριθμού και της διαιρετότητας στα παραπάνω σύνολα. Η έννοια της διαίρεσης με «μικρό υπόλοιπο» παρουσιάζεται για τους μιγαδικούς και τους υπερμιγαδικούς γεωμετρικά και στα οκτόνια με τη χρήση του πλέγματος . Οι ακέραιοι Gauss παρουσιάζονται συνοπτικά, ενώ για τους ακέραιους Hurwitz αποδεικνύονται τα θεωρήματα που μας δίνουν το πλήθος των αναλύσεων σε πρώτους παράγοντες στην περίπτωση του πρωταρχικού και του γενικού ακέραιου Hurwitz. Τέλος, αφού κατασκευαστούν οι μέγιστες τάξεις των ακέραιων οκτονίων παρουσιάζεται ο αλγόριθμος του Rehm, το πλήθος των αναλύσεων σε πρώτους παράγοντες ενός πρωταρχικού καθώς και σε ειδικές περιπτώσεις μη πρωταρχικού ακέραιου οκτονίου.

This thesis presents the algebra of octonions. First, a historical review of the extension of the set of real numbers to complex numbers, then to quaternions, and finally to octonions is provided. Next, composition algebras and the Cayley–Dickson doubling process are defined. The three sets that extend the real numbers are constructed using this doubling process, and through the proof of Hurwitz's Theorem, it is demonstrated that this extension process cannot yield composition algebras beyond the octonions. The fundamental properties of octonions are proved within the framework of the properties of composition algebras over the field of real numbers. Furthermore, the extension of the concepts of integers and divisibility to the aforementioned sets is examined. The concept of division with a "small remainder" is presented geometrically for complex numbers and quaternions, and for octonions by utilizing the  lattice. Gaussian integers are briefly introduced, while for Hurwitz integers, we prove the theorems that yield the number of prime factorizations in both the primitive and the general Hurwitz integer cases. Finally, after constructing the maximal orders of integral octonions, Rehm's algorithm is presented, along with the number of prime factorizations of a primitive, as well as specific cases of a non-primitive, integral octonion.