Ο σχεδιασμός πειραμάτων είναι ιδιαιτερα σημαντικός στη σύγχρονη Βιομηχανία, Επιστήμη και Μηχανική καθώς τη σημερινή εποχή, τα πειραμάτα χρησιμοποιούνται ευρέως για τη μελέτη και την βελτιστοποίηση διεργασιών και συστημάτων. Επειδή τα πειράματα για να πραγματοποιηθούν απαιτούν κόστος και χρόνο, ο σχεδιασμός πειραμάτων εξυπηρετεί στην ελαχιστοποιήση του πλήθους των πειραμάτων που απαιτούνται για να αποκτήσουμε την πληροφορία που χρειαζόμαστε. Τα πειράματα κατηγοριοποιούνται σε (α) φυσικά πειράματα (physical experiments), (β) υπολογιστικά πειράματα (computer experiments) ή αλλιώς πειράματα προσομοίωσης. Οι νόμοι της φυσικής δείχνουν ότι όλα τα συστήματα γύρω μας ουσιαστικά είναι η επίλυση ενός πεπλεγμένου συστήματος διαφορικών εξισώσεων είτε αυτά τα δούμε από την σκοπιά της κλασικής μηχανικής/θερμοδυναμικής είτε με μία κβαντομηχανική θεώρηση. Για τον λόγο αυτό προσπαθούμε να προσομοιώσουμε τα σύστηματα της φύσης με τη χρήση διαφορικών εξισώσεων επιλέγοντας όμως συγκεκριμένες οριακές συνθήκες περιοριζόμενοι από τις υπολογιστικές μας δυνατότητες. Επομένως, τα υπολογιστικά πειράματα είναι ουσιαστικά προσομοίωση των φυσικών πειραμάτων. Ο λόγος που πολλές φορές τα υπολογιστικά πειράματα προτιμούνται από τα φυσικά πειράματα είναι το χαμηλό κόστος τους αφού απαιτούν μόνο τη χρήση υπολογιστή και όχι ακριβές πειραματικές διατάξεις ή και ακριβά αντιδραστήρια. Έτσι, πολύ συχνά τα υπολογιστικά πειράματα επιλέγονται πριν την πραγματοποίηση των φυσικών πειραμάτων ως μια πρώτη ένδειξη για το υπό μελέτη σύστημα. Φυσικά, κανένα υπολογιστικό πείραμα δεν μπορεί να υποκαταστήσει το φυσικό πείραμα αλλά βοηθάει στον έλεγχο παραμέτρων που στο φυσικό πείραμα ίσως να μην μπορούσαν να ελέγχθούν εισάγωντας θόρυβο στις μετρήσεις. Η συνεισφορά τους είναι επίσης σημαντική στην ερμηνεία των φυσικών πειραμάτων. Παρόλο που τα υπολογιστικά πειράματα είναι προβλήματα επίλυσης διαφορικών εξισώσεων και προβλήματα ελαχιστοποίησης (εύρεσης ακροτάτων), λόγω της μαθηματικής πολυπλοκότητας των εξισώσεων αυτών, όταν δεν υπάρχει αναλυτική λύση που να τα περιγράφει, χρησιμοποιούται μέθοδοι αριθμητικής ανάλυσης στις οποίες εξελίσσεται κάθε φορά ο χρόνος κατά δt όπου το δt ορίζεται από τον χρήστη. Ο σκοπός των υπολογιστικών πειραμάτων είναι το λεγόμενο metamodeling δηλαδή η εύρεση μίας απλουστερης εξίσωσης ή συστηματος εξισώσεων που να περιγράφει το συστημά μας στις συνθήκες που μας ενδιαφέρουν. Στην παρούσα εργασία αναφέρονται διάφορα είδη υπολογιστικών πειραμάτων που χρησιμοποιούνται ευρέως στην πράξη. Επιπλέον, μελετήθηκαν από τη βιβλιογραφία διάφοροι μέθοδοι και αλγόριθμοι για το σχεδιασμό τέτοιων πειραμάτων, όπως οι σχεδιασμοί Λατινικού Υπερκύβου (Latin Hypercube Sampling) και οι ομοιόμορφοι σχεδιασμοί, και δόθηκε βάση επίσης στους περιορισμούς που διέπουν αυτούς τους σχεδιασμούς όπως η ομοιομορφία, η ελάχιστη απόσταση, η μέγιστη εντροπία ή ακόμη και η βελτιστοποίηση της τιμής κάποιας συνάρτησης που μας ενδιαφέρει. Εφαρμογή των σχεδιασμών αυτών πραγματοποιήθηκε για ένα σύστημα υπολογιστικής ρευστομηχανικής για σωλήνα με οπές μέσα από τoν οποίo ρέει φυσικό αέριο με σκοπό τη χρήση του συγκεκριμένου σωλήνα ως κομμάτι μίας ψησταριάς. Χρησιμοποιήθηκαν ένας maximin σχεδιασμός Λατινικού Τετραγώνου με τη μέθοδο LHSA και ένας ορθογώνιος σχεδιασμός Λατινικού Υπερκύβου (Orthogonal Latin Hypercube) η κατασκευή των οποίων παρουσιάζεται αναλυτικά στο θεωρητικό μέρος. Η συνάρτηση των ταχυτήτων εκροής του φυσικού αερίου από τις οπές του σωλήνα (=5 αποκρίσεις) ως προς τις επιφάνειες των οπών (=5 μεταβλητές εισόδου/παράγοντες) φαίνεται να επηρεάζεται από το είδος του σχεδιασμού που χρησιμοποιείται. Με χρήση της ανάλυσης διακύμανσης βρέθηκε πως η ταχύτητα εκροής του φυσικού αερίου από κάθε οπή επηρεάζεται από τη θέση των οπών αυτών κατά μήκος του σωλήνα.
Design of experiments is an extremely important problem in the modern industry, science and engineering, as experiments are used nowadays for the study and the optimization of processes and systems. Because the experiments require time and money to be executed, the design of experiments aims to the minimization of the number of the experiments that are needed to obtain the information we are interested in. The experiments are divided to (a) physical experiments and (b) computational experiments or simulation experiments. Laws of physics show that the systems that surround us are the solution of a system of very complicated entangled differential equations either we deal with them in the aspect of classical mechanics/thermodynamics or with a more quantum mechanical aspect. For this reason, we try to simulate the systems of nature using differential equations and choosing specific boundary conditions as we are limited by the available computational power. Consequently, the computer experiments are indeed simulation of natural experiments. The reason these computational experiments are preferred, is their low cost as they demand the usage of a computer avoiding the usage of expensive experimental devices and expensive reagents. As a result, it is very common to do computer experiments before we do the natural experiments, as the first give us an first insight of the system we study. Of course, there is no computational experiment that can substitute the natural experiment, but it helps in the control of the parameters that it would be difficult to be controlled in a physical experiment because of the noise of signals. Their contribution is equally important in the interpretation of the physical experiments. Despite the fact that computer experiments are problems of differential equations or problems of minimizations, because of their mathematical complexity, there are rare analytical solutions which describe them and practically methods of numerical analysis are used, moving along time using timesteps which are defined by the user. The aim of computational experiments is the “metamodelling” which is to find a simpler equation or systems of equations that describe our systems in a satisfactory way in the conditions we are interested. In the present thesis, different kinds of computer experiments are mentioned. In addition, a number of methods proposed in the literature for design of experiments (such as Latin Hypercube Sampling and Uniform Experimental Design) are mentioned in detail. We applied these design methods to do computer experiments of computational fluid dynamics. In these experiments, we study the flow of natural gas in a pipe with holes of different diameters. This pipe is a part of a rotisserie. A maximin design of Latin Hypercube with method LHSA and an orthogonal Latin Hypercube design were used. The function which describes the relation of the outlet speed at the holes of the pipe (=5 responses) with the surfaces of the holes (5 input variables) is fully dependent on the kind of the design was chosen each time. Applying the ANOVA for each of the 2 designs we mentioned previously we found that the position of each hole influences the speed of outlet of the corresponding hole.
«Computer experiments: Σχεδιασμός και ανάλυση»