Please use this identifier to cite or link to this item: https://apothesis.eap.gr/handle/repo/39611
Title: ΘΕΩΡΗΜΑ TYCHONOFF ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
Authors: ΤΣΑΝΤΑΛΗΣ, ΜΕΝΕΛΑΟΣ
Advisor: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ, ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ
Keywords: Τοπολογία;Topology;Τίχονοφ;Tychonoff;Αλάογλου;Alaoglu;Συμπαγοποίηση;Compactification;Στόουν-Τσεχ;Stone- Čech
Issue Date: 30-Sep-2018
Abstract: Το γινόμενο δύο συμπαγών τοπολογικών χώρων είναι πάλι συμπαγής τοπολογικός χώρος και επαγωγικά έπεται ότι το γινόμενο πεπερασμένου πλήθους συμπαγών χώρων είναι πάντα συμπαγής τοπολογικός χώρος. Σύμφωνα με τη διαίσθησή μας για την έννοια της συμπάγειας αναμένουμε το αντίθετο για άπειρα γινόμενα. Ο λόγος είναι ότι η συμπάγεια είναι μια “πεπερασμένη” ιδιότητα, οπότε δε μας εκπλήσσει το γεγονός ότι μεταφέρεται σε χώρους οι οποίοι προκύπτουν από πεπερασμένα γινόμενα. Όμως δεν αναμένει κανείς το ίδιο για άπειρα γινόμενα, αλλά η διαίσθησή μας δεν αληθεύει σύμφωνα με το επόμενο θεώρημα. Θεώρημα (Tychonoff 1930) Αν(X_i )_(i∈I) είναι μια οικογένεια συμπαγών τοπολογικών χώρων, τότε το γινόμενο ∏_(i∈I)▒Χ_i είναι επίσης τοπολογικός χώρος. Αξίζει να σημειώσουμε ότι όλες οι αποδείξεις του θεωρήματος Tychonoff χρησιμοποιούν το Λήμμα του Zorn. Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετάμε το Θεώρημα Tychonoff και ορισμένες εφαρμογές του στη Γενική Τοπολογία και στη Συναρτησιακή Ανάλυση. Η πρώτη είναι η ύπαρξη της Stone- Čech συμπαγοποίησης βX ενός τελείως κανονικού τοπολογικού χώρου X, η οποία με κάποια έννοια είναι η “μεγαλύτερη” συμπαγοποίηση, αφού μπορεί να χαρακτηρισθεί από την εξής ιδιότητα: Κάθε συνεχής συνάρτηση από το χώρο X σε ένα συμπαγή χώρο Hausdorff μπορεί να επεκταθεί στη συμπαγοποίηση βX. Η δεύτερη εφαρμογή του θεωρήματος είναι το θεώρημα Banach – Alaoglu, σύμφωνα με το οποίο η μοναδιαία μπάλα B_(X^* ), ενός χώρου με νόρμα X, εφοδιασμένη με την ασθενή άστρο τοπολογία w^* είναι συμπαγής. Μια άμεση συνέπεια του θεωρήματος Banach – Alaoglu είναι ο χαρακτηρισμός των w^* συμπαγών υποσυνόλων του δυϊκού χώρου X^* ενός χώρου Banach X. Συγκεκριμένα, αν X είναι ένας χώρος Banach, τότε ένα υποσύνολο του X^* είναι w^*- συμπαγές, αν και μόνον αν είναι w^*- κλειστό και φραγμένο.
Appears in Collections:ΜΣΜ Διπλωματικές Εργασίες

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
Menelaos_Tsantalis_Diplomatiki_30092018.pdfΚυρίως σώμα διπλωματικής843.18 kBPDFView/Open


This item is protected by original copyright



Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.