Please use this identifier to cite or link to this item: https://apothesis.eap.gr/handle/repo/35741
Title: Εισαγωγη στα Fractals.
Authors: Καλλίγας, Χρήστος
Advisor: Ανούσης, Μιχάλης
Keywords: Fractal γεωμετρία;Διάσταση fractal συνόλου;Αυτοομοιότητα.;Fractal geometry;Fractal dimensions;Self-similarity.
Issue Date: 24-Sep-2017
Abstract: Τις τελευταίες δεκαετίες παρατηρούμε μια αλλαγή στον τρόπο που αντιλαμβανόμαστε, σκεφτόμαστε και ταξινομούμε μια ορισμένη κλάση ιδιόμορφων και πολύπλοκων όπως συνήθως χαρακτηρίζονταν συνόλων. Τα σύνολα αυτά πλέον αποτελούν αντικείμενο μελέτης μια γενικότερης μαθηματικής θεωρίας υπό τον τίτλο Γεωμετρία των μορφο-κλασματικών συνόλων ή Fractal Γεωμετρία . Γεωμετρία όχι με την έννοια των κλασικών ευκλείδειων όρων, δηλαδή συνόλων που τα στοιχεία τους ικανοποιούν κάποιου είδους απλή γεωμετρική συνθήκη ή αποτελούν λύσεις μιας απλής εξίσωσης, αλλά με κάποια ουσιαστική αναθεώρηση. Η νέα αυτή θεώρηση των συγκεκριμένων συνόλων, τα οποία ονομάζουμε Fractal-σύνολα, μας επιτρέπει να δημιουργήσουμε ένα πλαίσιο μέσα στο οποίο μπορούμε να τα μελετήσουμε. Η Γεωμετρία των Fractals έχει αλλάξει τον τρόπο που αντιλαμβανόμαστε την φύση, τα φυσικά και τα βιολογικά φαινόμενα. Έτσι ένα μεγάλο μέρος της μαθηματικής έρευνας έχει εστιάσει στην μελέτη των πολύπλοκων αυτών συνόλων . Τις βασικές αρχές τις είχε επισημάνει ο Hausdorff ήδη από το 1918 ορίζοντας την έννοια της Hausdorff διάστασης (χρησιμοποιώντας ιδέες του Κ.Καραθεοδωρή) και μαζί με τον Besicovitch έθεσαν τα θεμέλια για την ανάπτυξη της σχετικής θεωρίας. Πατέρας όμως των Fractals θεωρείται ο Mandelbrot ο οποίος συστηματικοποίησε και μελέτησε την περιοχή αυτή από την δεκαετία του 70 . Έκτοτε και με την αύξηση της ταχύτητας των ηλεκτρονικών υπολογιστών που επαλήθευσαν την ισχύ των ιδεών του Mandelbrot η ανάπτυξη υπήρξε ραγδαία . Στην παρούσα διπλωματική εργασία θα παρουσιαστούν βασικές έννοιες της θεωρίας όπως η διάσταση Fractal συνόλων , η αυτοομοιότητα και θα αναλυθούν βασικά παραδείγματα και εφαρμογές τους. Ξεκινώντας με την εισαγωγή στην οποία παρατίθενται μερικά από τα πιο γνωστά Fractal σύνολα μέσω εικόνων και σχημάτων με σκοπό την κατανόηση του τρόπου που δημιουργούνται και των ιδιοτήτων που τα χαρακτηρίζουν. Στο αρχικό μέρος της εργασίας υπάρχει το θεωρητικό μαθηματικό υπόβαθρο που απαιτείται για την κατανόηση και μελέτη των εννοιών που θα παρουσιαστούν από διάφορους τομείς των μαθηματικών. Στο πρώτο μέρος αναλύεται η έννοια της διάστασης και εξετάζονται τρόποι για να την ορίσουμε. Δίνονται παραδείγματα και τεχνικές υπολογισμού διάστασης των βασικότερων Fractal συνόλων και αποδεικνύονται βασικές προτάσεις και θεωρήματα. Στο δεύτερο μέρος ορίζονται και αναλύονται τα αυτοόμοια και συσχετισμένα σύνολα καθώς και τα συστήματα επαναληπτικών συναρτήσεων, που κάτω από κατάλληλες συνθήκες δημιουργούν Fractal σύνολα. Υπολογίζονται διαστάσεις των παραπάνω συνόλων και μελετάται το πλαίσιο που τα περιβάλει
Appears in Collections:ΜΣΜ Διπλωματικές Εργασίες

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
ΚΑΛΛΙΓΑΣ ΧΡΗΣΤΟΣ-ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ FRACTALS.pdfΔιπλωματική εργασία1.54 MBAdobe PDFView/Open


This item is protected by original copyright



Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.