Please use this identifier to cite or link to this item: https://apothesis.eap.gr/handle/repo/34856
Title: Μια εισαγωγή στους συμμετρικούς χώρους
Authors: Καραγιάννης, Γεώργιος
Advisor: Αρβανιτογεώργος, Ανδρέας
Keywords: Ομάδα Lie;Συμμετρικοί χώροι;Συμμετρικά ζεύγη;Χώρος πηλίκο;Μορφή Killing;Lie group;Symmetric spaces;Symmetric pairs;Quotient space;Killing form
Issue Date: 24-Sep-2017
Abstract: Στην παρούσα Διπλωματική Εργασία κάνουμε μια εισαγωγή στους συμμετρικούς χώρους, δηλαδή στην ειδική κλάση πολλαπλοτήτων Riemann, για τους οποίους ο τανυστής καμπυλότητος ικανοποιεί τη σχέση, ∇ R=0. Οι συμμετρικοί χώροι αποτελούν μια σημαντική κλάση των ομογενών χώρων, με εφαρμογές στην αλγεβρική και τη διαφορική γεωμετρία και όχι μόνο. Σε αυτή την εργασία μελετάμε τους παραπάνω χώρους τόσο αλγεβρικά όσο και γεωμετρικά. Δίνουμε το αναγκαίο θεωρητικό υπόβαθρο από το χώρο της διαφορικής γεωμετρίας για να κάνουμε τη γεωμετρική περιγραφή. Ξεκινώντας από τους τοπικά συμμετρικούς χώρους, αποδεικνύουμε ότι μια πολλαπλότητα Riemann Μ με συνοχή Levi - Civita ∇, είναι τοπικά συμμετρικός χώρος εάν ο τανυστής καμπυλότητας R, πληροί ∇R=0 και συνεχίζουμε επεκτείνοντας την αρχή αυτή σε όλη την πολλαπλότητα με τη βοήθεια της γεωδαισιακής πληρότητας και του θεωρήματος Hopf - Rinow. Καταλήγουμε στον ορισμό του (ολικά) συμμετρικού χώρου και μελετάμε κάποιες βασικές ιδιότητές του. Κάνουμε ιδιαίτερη αναφορά στις ομάδες Lie, αναφέροντας όλα τα βασικά στοιχεία εκείνα που χρειάζονται ώστε να ταυτίσουμε ένα συμμετρικό χώρο (M,g) , με το χώρο πηλίκο G/K, όπου G, η ομάδα ισομετριών του Μ και Κ η ομάδα ισοτροπίας σε ένα σημείο p∈M. Ορίζουμε τα συμμετρικά ζεύγη και μελετάμε πώς αυτά οδηγούν σε συμμετρικούς χώρους και αντίστροφα. Παραθέτουμε έναν τρόπο ταξινόμησης των συμμετρικών χώρων σε συμπαγούς ή μη συμπαγούς τύπου. Η Διπλωματική Εργασία καταλήγει δίνοντας παραδείγματα συμμετρικών χώρων τόσο γεωμετρικά, μελετώντας βασικές ιδιότητες του χώρου, όσο και αλγεβρικά ως χώρους πηλίκο. Τέλος, παραθέτουμε μια μεθοδολογία κατασκευής συμμετρικών ζευγών και εν συνεχεία συμμετρικών χώρων.
Appears in Collections:ΜΣΜ Διπλωματικές Εργασίες

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
Μια εισαγωγή στους συμμετρικούς χώρους.pdfΚυρίως σώμα διπλωματικής1.19 MBAdobe PDFView/Open


This item is protected by original copyright



Items in Apothesis are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.